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H24(2012年)灘算数私的解説その２。
第２日[4]の問題はこちら (1) 1. これはさっくりと作図して、7個。 しかしそれでおしまいだと、ここから先の問題は一切解けない。 図を睨むと、タイルを敷き詰めて作った長方形に対角線を1つ引くと「最初に1個切ったあとは、タイルの辺を貫くたびに切られるタイルが1個増える(ただし対角線上には両端以外にタイルの頂点はない)」という法則に気付く…★ 今回であれば、貫くタイルの辺の数は、植木算で横線5－1＝4本、縦線3－1＝2本だから、1＋4＋2で求められる。 2. 81と64の最大公約数は1で、対角線上には両端以外にタイルの頂点はないから、★がそのまま使える。 よって1＋(81－1)＋(64－1)＝144個。 3. 144と81の最大公約数は9なので、縦144÷9＝16cmと横81÷9＝9cmの長方形が9セット連なった状態を考えればよい。 1セットで切られるタイルは1＋(16－1)＋(9－1)＝24個だから、全部で24×9＝216個。 (2) 立体になっても動じない。平面で考えられる方法がちゃんとある。 75と90と30の最大公約数は15だから、縦75÷15＝5cm、横90÷15＝6cm、高さ30÷15＝2cmの直方体が15セット連なったものと考える。 1セットで貫かれる立方体を考えるが、1方向から眺めただけで済ませてしまうと、重複や見逃しの可能性が出るため危険。 それを防ぐため、高さ方向に1cmずつスライスする(下から1段目、2段目とする)。 このときスライスした面と対角線の交点は、1セットの直方体の中心を通ることに注意。 すると、1段目は上から見た図で5個の立方体を貫くことが確かめられる。 対称性より、2段目も5個の立方体を貫く(1段目を180度回転させた状態になっている)。 以上より、1セットで10個の立方体を貫くので、全部で10×15＝150個の立方体を貫く。 (1)は★を使いこなせないと厳しい問題だが、まあ知ってる受験生が殆どだったのではないかと推測する。過去問や他の難関校でも出題されてるし…。 (2)も、立方体格子を考える問題が過去問にあったから、練習しておけば対応可能。 参考までに、前者の過去問を紹介しておこう。 ・[参考問題]S61 灘中 第２日[5] 1辺の長さが1cmの正方形のタイルを隙間なく敷き詰めて長方形をつくる。 (1) 縦に5枚、横に3枚並ぶように敷き詰めた長方形で対角線を1本引くと、対角線が横切るタイルは何枚あるか。 (2) 縦に35枚、横に32枚並ぶように敷き詰めた長方形をABCDとする。 1. AからCまで対角線を引くと、対角線が横切るタイルは何枚あるか。 2. 対角線ACとBDを引くと、対角線が横切っていないタイルは何枚あるか。 (3) 縦に70枚、横に偶数枚(5の倍数でも7の倍数でもない)並ぶように敷き詰めた長方形で、2本の対角線が横切らないタイルは2040枚であった。横には何枚並んでいるか。 ↓見たい場合はクリック3連打してみてね 答…(1)7枚 (2)1＝66枚，2＝990枚 (3)32枚 PR |
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