・第１日[6]
高校数学でいうところの「漸化式」っぽく数えていく。
すなわち、前の結果を利用すれば、簡単に数え上げることができる。

1秒後は、B・C・Dにいく方法が1通りずつ。それは誰でもわかる。

Aにいる1秒前は、BかCかDにいた。
Bにいる1秒前は、AかCかDにいた。
Cにいる1秒前は、AかBかDにいた。
Dにいる1秒前は、AかBかCにいた。
このことに注意して、1秒ごとに頂点にいる場合の数を書き込んでいく。

2秒後について。
Aにいる進み方は、1秒後の時点でBとCとDにいる場合の数の和で1＋1＋1＝3通り。
Bにいる進み方は、1秒後の時点でAとCとDにいる場合の数の和で0＋1＋1＝2通り。
CやDにいる方法も、これと全く同じ考え方で2通り。

3秒後についても同様にすればよい。
Aにいる進み方は、2＋2＋2＝6通り。…(1)の答
BやCやDにいる進み方は、いずれも3＋2＋2＝7通り。

4秒後について。
Aにいる進み方は7＋7＋7＝21通り。
BやCやDにいる進み方は、いずれも6＋7＋7＝20通り。…(2)の答

この方法であれば、もっと秒数が長くなっても対処できる。
5秒後にAにいる進み方は、20＋20＋20＝60通り。
5秒後にBやCやDにいる進み方は、21＋20＋20＝61通り。
6秒後にAにいる進み方は、61＋61＋61＝183通り、…
もっとも、県内の受験生の中間レベルであれば、なんとか(1)を頑張って数え上げて(2)は後回し、という戦略が一般的になると思われる。。

ちなみに、昨年の高知学芸中で出題された場合の数も、漸化式を使えば簡単に数え上げられるものであった。
(さすがに昨年は漸化式ではなくノーマルに数え上げる方法が想定された解法だろうが)
その問題も紹介しておく。
 

・[参考問題]H23　高知学芸中 算数第１日[6]
※要旨抜粋、追記あり、図省略
2cm×1cmの長方形タイルA、2cm×2cmの正方形タイルBがそれぞれたくさんあります。このタイルを縦2cm、横アcmの長方形の板にすき間なく、はみ出さないように貼ることにします。
横の長さアが次の場合、タイルの貼り方はそれぞれ何通りありますか。
ただし、使わないタイルがあってもよいものとし、全体を回したり裏返したりして重なる貼り方も別々に数えます。
(1)ア＝2のとき　　(2)ア＝3のとき　　(3)ア＝4のとき
(補足)→方法次第ではア＝10であっても答えを簡単に出すことができます

↓見たい場合はクリック3連打してみてね
答…(1)3通り　(2)5通り　(3)11通り　(補足)683通り
※某算数本と補足まで同じ構図になってしまった模様。汗