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【2017/12/19 03:20 】 |
この一題[解説編]~灘・H24第2日[4]
H24(2012年)灘算数私的解説その2。
第2日[4]の問題はこちら

(1)
1. これはさっくりと作図して、7個
しかしそれでおしまいだと、ここから先の問題は一切解けない。
図を睨むと、タイルを敷き詰めて作った長方形に対角線を1つ引くと「最初に1個切ったあとは、タイルの辺を貫くたびに切られるタイルが1個増える(ただし対角線上には両端以外にタイルの頂点はない)」という法則に気付く…★
今回であれば、貫くタイルの辺の数は、植木算で横線5-1=4本、縦線3-1=2本だから、1+4+2で求められる。
nada-2012-4-1a.PNG
2. 81と64の最大公約数は1で、対角線上には両端以外にタイルの頂点はないから、★がそのまま使える。
よって1+(81-1)+(64-1)=144個

3. 144と81の最大公約数は9なので、縦144÷9=16cmと横81÷9=9cmの長方形が9セット連なった状態を考えればよい。
1セットで切られるタイルは1+(16-1)+(9-1)=24個だから、全部で24×9=216個

(2)
立体になっても動じない。平面で考えられる方法がちゃんとある。
75と90と30の最大公約数は15だから、縦75÷15=5cm、横90÷15=6cm、高さ30÷15=2cmの直方体が15セット連なったものと考える。
nada-2012-4-2a.PNG
1セットで貫かれる立方体を考えるが、1方向から眺めただけで済ませてしまうと、重複や見逃しの可能性が出るため危険。
それを防ぐため、高さ方向に1cmずつスライスする(下から1段目、2段目とする)。
このときスライスした面と対角線の交点は、1セットの直方体の中心を通ることに注意。
3d79d2f8.PNG
すると、1段目は上から見た図で5個の立方体を貫くことが確かめられる。
対称性より、2段目も5個の立方体を貫く(1段目を180度回転させた状態になっている)。
以上より、1セットで10個の立方体を貫くので、全部で10×15=150個の立方体を貫く。


(1)は★を使いこなせないと厳しい問題だが、まあ知ってる受験生が殆どだったのではないかと推測する。過去問や他の難関校でも出題されてるし…。
(2)も、立方体格子を考える問題が過去問にあったから、練習しておけば対応可能。

参考までに、前者の過去問を紹介しておこう。

・[参考問題]S61 灘中 第2日[5]
1辺の長さが1cmの正方形のタイルを隙間なく敷き詰めて長方形をつくる。
(1) 縦に5枚、横に3枚並ぶように敷き詰めた長方形で対角線を1本引くと、対角線が横切るタイルは何枚あるか。
(2) 縦に35枚、横に32枚並ぶように敷き詰めた長方形をABCDとする。
1. AからCまで対角線を引くと、対角線が横切るタイルは何枚あるか。
2. 対角線ACとBDを引くと、対角線が横切っていないタイルは何枚あるか。
(3) 縦に70枚、横に偶数枚(5の倍数でも7の倍数でもない)並ぶように敷き詰めた長方形で、2本の対角線が横切らないタイルは2040枚であった。横には何枚並んでいるか。

↓見たい場合はクリック3連打してみてね
答…(1)7枚 (2)1=66枚,2=990枚 (3)32枚
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【2012/02/26 23:53 】 | 中学入試-四国外 | 有り難いご意見(0)
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