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この一題[解説編]~灘・H25第1日[4]
H25(2013年)灘算数私的解説その1。
第1日[4]の問題はこちら
まずは小数を分数に直す。
分母が100以下という条件なので分母を100で揃えると
0.5=50/100、0.51=51/100。このとき分子の値は1違いである。

分母が100未満の整数値で0.5と等しい分数を(分子が小数も含む)挙げていく。
 49.5/99=49/98=48.5/97=48/96=… ←[甲]
分子の値が1違いのとき、分数の間隔は分母の値が小さいほど大きくなる。
よって、[乙]の分子の値に1を加えた分数、
 50.5/99、50/98、49.5/97、49/96、… ←[乙]
はいずれも、50/100の分子の値に1を加えた51/100よりは大きくなる。

50/100より大きく51/100より小さい分数の候補は、[甲]と[乙]の間にある分数である。
そして、条件にあう可能性があるのは、[甲]と[乙]の中間にある分数のみ。
これは、甲の分数の分子の値に0.5を加えた分数(分子が小数も含む)となる。
 50/99、49.5/98、49/97、48.5/96、… ←[丙]

ここまでを図示すると、次のようになる。
(※分数の大小の"間隔"はいい加減です)

分母が偶数の場合は満たすものがなく、分母が奇数のとき、すなわち
 50/99、49/97、48/95、47/93、… ←[丁]
が重要な答えの候補となる。

しかしこれで終わりではない。
50/100と51/100の分母と分子をそれぞれ2で割ると25/50、25.5/50となる。(分子の値は0.5違い)
25/50は[甲]の出てくるが、25.5/50は[丙]に出現する。
よって、[丙]に出てくる分数のうち、25.5/50、25/49、24.5/48、…は51/100より大きくなるため、条件を満たさない。

結局、答えを満たすのは、[丁]の分数のうち、分母が50より大きいもののみ。
 50/99、49/97、48/95、47/93、…、27/53、26/51
これらの個数は、分子を見て数えて50-25=25個である。…答

いくら灘中受験生とはいえ、時間内でこんな風に厳密に解くのはほぼ不可能ではないだろうか?
a<c、b<d、b/a<d/cのとき、「b/a<(b+d)/(a+c)<d/c」となる事実が存在するが(参考サイト:数学の小部屋)、試験時間内で解くとなると、これ知ってないと万事休す、という気さえする。
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【2013/02/08 11:34 】 | 中学入試-四国外 | 有り難いご意見(4)
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有り難いご意見
得手不得手はあるもので・・・
久しぶりに灘の問題(1日目だけだけど)解いてみたけど。。。

自分的には11番の三角形のが一番難しくって(未だにしっくりきてない)、この問題は瞬殺?に近かったんだけど・・・(^^;
【2013/02/08 23:12】| | TORA #99bcf2a5c1 [ 編集 ]


無題
1mのものさしと、1mのゴムひもを用意します。
ゴムひもには1cmごとにドットを付けておきます。

この問題は、ゴムひもをものさしにあてがった際、ものさしの50cmの目盛と51cmの目盛の間に、ドットが入るか否かを問うた問題です。

ゴムひもを伸ばさずにそのままあてがうと、ドットは1cmごとに並んでいるので、ドットの位置とものさしの目盛とが一致するのは当然として・・・

ゴムひもを98等分になるように伸ばしてあてがった場合には、ものさしの50~51の間にドットは入りません。
49番目のドットと50cmの目盛が一致する格好で左右対称な形にドットが並ぶうえに、ドットの間隔が1cmよりも長くなるから。
同様に96cmに伸ばした場合も94cmにした場合も等分の数が偶数だと、50~51cmの間にはドットは入りません。

99等分となるように伸ばしてあてがうと、どのドットも50cmの目盛上には乗りません。
44番目のドットと45番目のドットの丁度真ん中に50cmの目盛がくる格好の左右対称になって、50~51cmの間にドットが入ります。

てなイメージをつくれば、分母が奇数でないとダメだということがわかるでしょう。

また奇数であっても、等分の数を50より少なくすると、ドットの間隔が2cmより大きくなるので49~51cmの間にドットは入らなくなります。

よってこの問題の分数は、分母が50より大きな奇数となります。
【2013/02/09 00:18】| | TORA #99bcf2a5c1 [ 編集 ]


11の解説
4の格子点的発想は浮かばなかったですなあ…さすが。

11は、図を数分じい~っと眺めていたら、どうやらこれは平行四辺形の一部だなというのが見えて、こんな感じで。

四角形PBDAが平行四辺形となるように点Pを取ると、Mは平行四辺形の対角線の交点であり、
PD=5×2=10cmである。
ここでPからBDに垂線PHを下ろすと、その長さはACと同じ5cm。

ここで△PHDは、角H=90度、PH:PD=5:10=1:2だから、「30度定規形」(正三角形の半分)であることがわかる。
よって角PDH=30度、角ADC=180-(15+90)=75度。
よって角イ=180-(75+30)=75度。

次に、四角形PBDAが平行四辺形より、角BPD=角PDA=75度。
角PBDは180-(75+30)=75度だから、△PBDはPD=BDの二等辺三角形。よってBD=PD=10cm。

今年の灘の図形は、第2日[5]を除いてどれも平易だったと思います。(あくまで「灘としては」ってことで^^;)
【2013/02/09 01:57】| | なきいるか→C-D #2a1342072a [ 編集 ]


無題
どもども。

>角ADC=180-(15+90)=75度
ココ!これを見落としてますたw

答えが75ってわかっていたから「これが二等辺になるはずなんだが、何故?何故なんだ?」とか悩んでいますた。
【2013/02/09 08:04】| | TORA #99bcf2a5c1 [ 編集 ]


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