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H25(2013年)灘算数私的解説その１。
第１日[4]の問題はこちら
まずは小数を分数に直す。
分母が100以下という条件なので分母を100で揃えると 0.5＝50/100、0.51＝51/100。このとき分子の値は1違いである。 分母が100未満の整数値で0.5と等しい分数を(分子が小数も含む)挙げていく。 49.5/99＝49/98＝48.5/97＝48/96＝… ←[甲] 分子の値が1違いのとき、分数の間隔は分母の値が小さいほど大きくなる。 よって、[乙]の分子の値に1を加えた分数、 50.5/99、50/98、49.5/97、49/96、… ←[乙] はいずれも、50/100の分子の値に1を加えた51/100よりは大きくなる。 50/100より大きく51/100より小さい分数の候補は、[甲]と[乙]の間にある分数である。 そして、条件にあう可能性があるのは、[甲]と[乙]の中間にある分数のみ。 これは、甲の分数の分子の値に0.5を加えた分数(分子が小数も含む)となる。 50/99、49.5/98、49/97、48.5/96、… ←[丙] ここまでを図示すると、次のようになる。 (※分数の大小の"間隔"はいい加減です) 分母が偶数の場合は満たすものがなく、分母が奇数のとき、すなわち 50/99、49/97、48/95、47/93、… ←[丁] が重要な答えの候補となる。 しかしこれで終わりではない。 50/100と51/100の分母と分子をそれぞれ2で割ると25/50、25.5/50となる。(分子の値は0.5違い) 25/50は[甲]の出てくるが、25.5/50は[丙]に出現する。 よって、[丙]に出てくる分数のうち、25.5/50、25/49、24.5/48、…は51/100より大きくなるため、条件を満たさない。 結局、答えを満たすのは、[丁]の分数のうち、分母が50より大きいもののみ。 50/99、49/97、48/95、47/93、…、27/53、26/51 これらの個数は、分子を見て数えて50－25＝25個である。…答 いくら灘中受験生とはいえ、時間内でこんな風に厳密に解くのはほぼ不可能ではないだろうか？ a＜c、b＜d、b/a＜d/cのとき、「b/a＜(b+d)/(a+c)＜d/c」となる事実が存在するが（参考サイト：数学の小部屋）、試験時間内で解くとなると、これ知ってないと万事休す、という気さえする。 PR |
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久しぶりに灘の問題（1日目だけだけど）解いてみたけど。。。
自分的には11番の三角形のが一番難しくって（未だにしっくりきてない）、この問題は瞬殺？に近かったんだけど・・・(^^;
【2013/02/08 23:12】| | ＴＯＲＡ #99bcf2a5c1 [ 編集 ]
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１ｍのものさしと、１mのゴムひもを用意します。
ゴムひもには１cmごとにドットを付けておきます。 この問題は、ゴムひもをものさしにあてがった際、ものさしの５０cmの目盛と51cmの目盛の間に、ドットが入るか否かを問うた問題です。 ゴムひもを伸ばさずにそのままあてがうと、ドットは1cmごとに並んでいるので、ドットの位置とものさしの目盛とが一致するのは当然として・・・ ゴムひもを98等分になるように伸ばしてあてがった場合には、ものさしの50～51の間にドットは入りません。 49番目のドットと50cmの目盛が一致する格好で左右対称な形にドットが並ぶうえに、ドットの間隔が1cmよりも長くなるから。 同様に96cmに伸ばした場合も94cmにした場合も等分の数が偶数だと、50～51cmの間にはドットは入りません。 99等分となるように伸ばしてあてがうと、どのドットも50cmの目盛上には乗りません。 44番目のドットと45番目のドットの丁度真ん中に50cmの目盛がくる格好の左右対称になって、50～51cmの間にドットが入ります。 てなイメージをつくれば、分母が奇数でないとダメだということがわかるでしょう。 また奇数であっても、等分の数を50より少なくすると、ドットの間隔が2cmより大きくなるので49～51cmの間にドットは入らなくなります。 よってこの問題の分数は、分母が50より大きな奇数となります。
【2013/02/09 00:18】| | TORA #99bcf2a5c1 [ 編集 ]
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4の格子点的発想は浮かばなかったですなあ…さすが。
11は、図を数分じい～っと眺めていたら、どうやらこれは平行四辺形の一部だなというのが見えて、こんな感じで。 四角形PBDAが平行四辺形となるように点Pを取ると、Mは平行四辺形の対角線の交点であり、 PD＝5×2＝10cmである。 ここでPからBDに垂線PHを下ろすと、その長さはACと同じ5cm。 ここで△PHDは、角H＝90度、PH：PD＝5：10＝1：2だから、「30度定規形」(正三角形の半分)であることがわかる。 よって角PDH＝30度、角ADC＝180－(15＋90)＝75度。 よって角イ＝180－(75＋30)＝75度。 次に、四角形PBDAが平行四辺形より、角BPD＝角PDA＝75度。 角PBDは180－(75＋30)＝75度だから、△PBDはPD＝BDの二等辺三角形。よってBD＝PD＝10cm。 今年の灘の図形は、第２日[5]を除いてどれも平易だったと思います。(あくまで「灘としては」ってことで^^;)
【2013/02/09 01:57】| | なきいるか→C-D #2a1342072a [ 編集 ]
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どもども。
>角ADC＝180－(15＋90)＝75度 ココ！これを見落としてますたw 答えが75ってわかっていたから「これが二等辺になるはずなんだが、何故？何故なんだ？」とか悩んでいますた。
【2013/02/09 08:04】| | TORA #99bcf2a5c1 [ 編集 ]
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