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【2017/12/19 03:19 】 |
この一題[解説編]~ジュニア算オリ予選・H24[9]
H24(2012年)ジュニア算オリ予選の私的解説。
問題はこちら


(1)まずは条件通りに書いてみよう。背景金色が付け足した数字。
1回目終了→12
2回目終了→1213
3回目終了→12131214
4回目終了→1213121412131215
5回目終了→12131214121312151213121412131216
 :
左から20個目の数字は「3」である。←(1)の答
 

(2)付け足す数字の中に「2012」がそのままあるとは限らない。
数字の区切れに注意する問題は、近年の算オリに多い気がする。

・付け足した数字の末尾だけで2012になる場合
3回目以降、付け足す数字の末尾の下4ケタが1214→1215→1216→…と1ずつ大きくなる。
3回目から2012-1214=798だけ大きくするので、798+3=801回目の末尾に出現する。

・「付け足す前の数字の末尾」+「付け足し後の数字の上の位」で2012になる場合
「2」+「012」、「20」+「12」、「201」+「2」の3パターンがある。
しかし、「付け足した数字の上の位」は、3回目以降は「1213」の並びとなるはずだから、「20」+「12」のパターンを調べれば十分である
1213より大きくて下2桁が20となるとき、つまり付け足す前の数字の末尾が1220のとき、最初に現れると考えられる。すなわち、次のようになるとき。

付け足す前の数字の下4桁↓ ↓付け足し後の数字の上4桁
12131214……1220 12131214……1221

末尾に1220が登場するのは、1220-1214=6より、6+3=9回目。
以上より、2012の並びが登場するのは、9+1=10回目である。←(2)の答


(3)8桁ごとに区切って並べてみる。
12131214
12131215
12131214
12131216
   :
12131214
12139999
   :
12131214
12140000
   :
すると、8桁ごとに区切った上4桁は「1213」の並びになっていることがわかる。…★
この決まりは、付け足した数字の末尾が「9999」になるまで(もっと細かく言えば「0000」になる手前まで)継続する。
すなわち、8で割って1~4余る個数のときはすぐに数字が特定できる。
(8で割って1余るなら1、2余るなら2、3余るなら1、4余るなら3)
2012÷8=251余り4だから、答えは3。←(3)の答
(★の規則が2012番目までに崩れないのは直感的にもほぼ明らか)

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【2012/06/13 12:28 】 | 中学入試-四国外 | 有り難いご意見(0)
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